{"id":12419,"date":"2017-01-18T17:43:12","date_gmt":"2017-01-18T16:43:12","guid":{"rendered":"http:\/\/www.bmscience.net\/blog\/?p=12419"},"modified":"2024-02-26T20:53:42","modified_gmt":"2024-02-26T19:53:42","slug":"la-dinamica-dei-fluidi-teorema-bernoulli","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.bmscience.net\/blog\/la-dinamica-dei-fluidi-teorema-bernoulli\/","title":{"rendered":"La dinamica dei fluidi – Il teorema di Bernoulli"},"content":{"rendered":"
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\"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Bernoulli<\/strong>, nel 1738, si preoccup\u00f2 di applicare il principio di conservazione dell’energia<\/strong> nei fluidi.
Per fare ci\u00f2, bisogna considerare un fluido ideale che scorre in un tubo in moto laminare. Il fluido \u00e8 incomprimibile, ovvero la densit\u00e0 \u00e8 costante, quindi in un intervallo di tempo \u0394t<\/strong> un volume di fluido \u0394V<\/strong> attraversa la sezione A1<\/sub><\/strong> in entrata ed un identico volume \u0394V<\/strong> fuoriesce dal tubo attraverso la sezione A2<\/sub><\/strong>.
Il teorema di Bernoulli<\/strong> si dimostra applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica del fluido che scorre nel tubo tra la configurazione iniziale a) e finale b) (si considera la parte di fluido tratteggiata in azzurro che si muove tra i due piani verticali separati dalla distanza L<\/strong>).
Il teorema dell’energia cinetica afferma che il lavoro \u00e8 uguale alla variazione di energia cinetica: W = \u0394Ec
<\/sub><\/strong><\/span>Per calcolare il lavoro bisogna considerare le forze che agiscono sul sistema, ovvero la forza di gravit\u00e0 e le forze di pressione.<\/p>\n\n\n\n

Il lavoro Wg<\/sub><\/strong> fatto dalla forza di gravit\u00e0 \u00e8 uguale alla forza peso \u0394m\u22c5\u1e21<\/strong> per la variazione di quota \u0394y<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n

Wg<\/sub> <\/span>= \u0394m\u22c5\u1e21\u22c5\u0394y = -\u0394m\u22c5g\u22c5(y2<\/sub>-y1<\/sub>)<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n

Il lavoro esercitato dalla forza peso \u00e8 negativo in quanto la forza \u00e8 rivolta verso il basso, mentre lo spostamento \u00e8 rivolto verso l’alto, formando insieme un angolo di 180\u00b0 il cui coseno \u00e8 -1. La \u0394m<\/strong> di massa considerata nel lavoro \u00e8 quella relativa alla massa di fluido tratteggiata.<\/p>\n\n\n

\"\"<\/a><\/div>\n\n\n

Il lavoro compiuto invece dalle forze di pressione \u00e8 in parte compiuto sul sistema (all’ingresso A1<\/sub><\/strong>) per spingere il fluido attraverso il tubo, ed in parte dal sistema (all’estremit\u00e0 di uscita A<\/strong>2<\/sub><\/strong>) per spingere il fluido fuori dal tubo in presenza di p<\/strong>2<\/sub><\/strong>.
Il lavoro di una forza di pressione p<\/strong> che agisce su una porzione di fluido contenuta in un tubo di sezione A<\/strong> per spostarla di una distanza \u0394x<\/strong> \u00e8, essendo A\u22c5\u0394x = \u0394V<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n

F\u22c5\u0394x<\/span> = (p\u22c5A)\u22c5(\u0394x)\u22c5cos\u03b8 = \u00b1p\u22c5\u0394V<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n

Quindi il lavoro della p1<\/sub> svolto sul sistema \u00e8: Wp1<\/sub> = p1<\/sub>\u22c5\u0394V<\/strong><\/p>\n\n\n

\"\"<\/a><\/div>\n\n\n

Mentre il lavoro della p2<\/sub> svolto sul sistema \u00e8:\u00a0Wp2<\/sub>\u00a0= -p2<\/sub>\u22c5\u0394V
<\/strong>Come il lavoro svolto dalla forza di gravit\u00e0, anche il lavoro svolto dalla pressione nel secondo punto \u00e8 negativo in quanto la forza e lo spostamento hanno versi opposti. Alla fine di tutto, il lavoro delle pressioni sar\u00e0:
<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Wp<\/sub><\/span> = Wp1<\/sub> + Wp2<\/sub> = p1<\/sub>\u22c5\u0394V – p2<\/sub>\u22c5\u0394V = -(p2<\/sub>-p1<\/sub>)\u22c5\u0394V<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n

Il lavoro totale invece compiuto sulla massa \u0394m<\/strong> sar\u00e0:<\/p>\n\n\n\n

W<\/span> = Wg<\/span><\/sub> + Wp<\/sub> = -\u0394m\u22c5g\u22c5(y2<\/sub>-y1<\/sub>) – (p2<\/sub>-p1<\/sub>)\u22c5\u0394V<\/span><\/strong><\/p>\n\n\n\n

Ricordando che la densit\u00e0 \u00e8 la massa in un volume: \u0394m\/\u0394V = \u03c1<\/strong> e che quindi \u0394V = \u0394m\/\u03c1<\/strong> il lavoro \u00e8 uguale a:<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Se dal teorema dell’energia cinetica W = \u0394Ec<\/sub><\/strong> sostituiamo la variazione dell’energia con le velocit\u00e0 e il lavoro con quello ricavato da noi precedentemente, quindi semplifichiamo le masse e moltiplichiamo i membri per la densit\u00e0 \u03c1<\/strong>:<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n\n

Caricamento…<\/p><\/div>\r\n\r\n<\/div>\n\n\n

Alla fine avremo la somma senza indici perch\u00e9 1 e 2 si riferiscono a due punti qualsiasi del fluido. Questa somma rimane costante nel tempo se il fluido preso in considerazione \u00e8 ideale (presenta quindi le caratteristiche di essere incomprimibile, non viscoso, irrotazionale e si muove di moto laminare).
Il teorema di Bernoulli, alla fine dei conti, non \u00e8 una nuova legge, bens\u00ec un nuovo modo di esprimere la conservazione dell’energia meccanica nel caso dei fluidi.<\/p>\n\n\n\n

Nella formula finale, la somma p+\u03c1\u22c5g\u22c5y<\/strong> ricorda in un certo senso la legge di Stevino e l’energia potenziale del fluido e si riguarda la pressione statica, mentre \u00bd\u22c5\u03c1\u22c5v2<\/sup><\/strong> rappresenta l’energia cinetica del fluido e riguarda la pressione dinamica.
Questa nota finale sta a dimostrare come l’idrostatica \u00e8 un caso particolare della dinamica dei fluidi. Infatti, la legge di Stevino \u00e8 un caso particolare dell’equazione di Bernoulli, ovvero quando un fluido \u00e8 in quiete e la velocit\u00e0 iniziale corrisponde con quella finale ed \u00e8 uguale a 0.<\/p>\n\n\n

Caricamento…<\/p><\/div>\r\n\r\n<\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Bernoulli, nel 1738, si preoccup\u00f2 di applicare il principio di conservazione dell’energia nei fluidi.Per fare ci\u00f2, bisogna considerare un fluido ideale che scorre in un tubo in moto laminare. Il fluido \u00e8 incomprimibile, ovvero la densit\u00e0 \u00e8 costante, quindi in un intervallo di tempo \u0394t un volume di fluido \u0394V attraversa la sezione A1 in entrata ed…<\/p>\n

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