{"id":14241,"date":"2018-09-16T18:16:32","date_gmt":"2018-09-16T16:16:32","guid":{"rendered":"http:\/\/www.bmscience.net\/blog\/?p=14241"},"modified":"2024-02-07T23:16:32","modified_gmt":"2024-02-07T22:16:32","slug":"moto-dei-fluidi-reali-e-legge-di-poiseuille","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.bmscience.net\/blog\/moto-dei-fluidi-reali-e-legge-di-poiseuille\/","title":{"rendered":"Moto dei fluidi reali e legge di Poiseuille"},"content":{"rendered":"\n

Quando un fluido reale<\/strong> si muove in un condotto, a differenza dei fluidi ideali, si ha a che fare con delle forze di attrito<\/strong> che ostacolano il moto del fluido dovute alle forze di coesione<\/strong> tra le molecole che, in un condotto, aumentano dall\u2019interno del fluido verso la parete del condotto. Quindi la velocit\u00e0 di scorrimento del liquido aumenta in modo concentrico verso il centro del condotto cilindrico.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Considerando un cilindro di fluido di raggio r<\/strong>, con superficie laterale S<\/strong>, che scorre a velocit\u00e0 v + \u0394v<\/strong> e su di esso scorre un secondo strato di cilindro con velocit\u00e0 v<\/strong> e raggio r + \u0394r<\/strong>. Sperimentalmente si osserva che la forza di attrito F<\/strong> tra due strati contigui \u00e8 proporzionale alla superficie S<\/strong> ed alla differenza di velocit\u00e0 \u0394v<\/strong> ed \u00e8 inversamente proporzionale a \u0394r<\/strong> tra i due cilindri concentrici:<\/p>\n\n\n\n

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\"\"<\/figure>\n<\/center>\n\n\n\n

dove dv\/dr<\/strong> \u00e8 chiamato gradiente di velocit\u00e0<\/strong> mentre \u03b7<\/strong> \u00e8 il coefficiente di viscosit\u00e0<\/strong> che varia con il tipo di liquido, con la temperatura e la pressione. Infatti diminuisce all\u2019aumentare della T<\/strong> e cresce all\u2019aumentare della pressione:<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

La sua unit\u00e0 di misura \u00e8 il Pa s<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

A causa della loro viscosit\u00e0, i liquidi reali scorrono perdendo parte della loro energia meccanica per trasformarla in energia interna con aumento della temperatura.
Se consideriamo l\u2019energia meccanica persa per unit\u00e0 di volume<\/strong> \u03b5 <\/strong>del liquido tra due sezioni del condotto, nel teorema di Bernoulli si ha:<\/p>\n\n\n\n

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\"\"<\/figure>\n<\/center>\n\n\n\n

Se h<\/strong><\/em>1<\/sub><\/strong>=h<\/em>2<\/sub><\/strong> e v1<\/sub>=v2<\/sub><\/strong> allora p1<\/sub>=p2<\/sub>+\u03b5<\/strong> e quindi \u03b5<\/strong> =p1<\/sub>-p2<\/sub><\/strong>.
Da questa assunzione si capische che affinch\u00e9 un fluido con attrito viscoso possa scorrere con moto laminare o stazionario a portata costante in un condotto orizzontale, deve essere applicata una differenza di pressione \u0394p<\/strong> ai suoi estremi per vincere le forze di attrito. Il valore di questa differenza di pressione \u00e8 ricavabile dalla legge di Poiseuille<\/strong> valida per tubi cilindrici di raggio r<\/strong>, lunghezza l<\/strong> e portata Q<\/strong> in cui il moto del fluido \u00e8 laminare:<\/p>\n\n\n\n

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Da questa equazione si pu\u00f2 notare come \u0394p<\/strong> tra due sezioni distanti l<\/em><\/strong> di un tubo orizzontale \u00e8 inversamente proporzionale a r<\/strong><\/em>4<\/sup><\/strong>. Quindi pi\u00f9 \u00e8 piccola la sezione di un tubo, maggiore sar\u00e0 la caduta di pressione \u0394p<\/strong>.\u00a0<\/em>Perci\u00f2, per mantenere costante la portata Q<\/em><\/strong> di un fluido reale che scorre in un tubo orizzontale si deve applicare con una pompa una\u00a0\u0394p<\/strong> <\/em>di circa 1\/r4<\/sup>. Questo significa che se r<\/em><\/strong> di un tubo si dimezza<\/em><\/strong>, la \u0394p<\/strong> <\/em><\/strong>deve aumentare di 16 volte<\/em><\/strong> per mantenere la stessa portata Q<\/em><\/strong>.<\/p><\/p>\n\n\n

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Dimostrazione della legge di Poiseuille<\/h2>\n\n\n
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Fonte: Fisica biomedica<\/a>.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Per dimostrare la legge di Poiseuille si consideri all\u2019interno di un tubo di raggio R<\/strong>, un cilindro di raggio r<\/strong> e lunghezza l<\/strong> che si muove con velocit\u00e0 v(r)<\/strong>.
Sulle basi del cilindro agiscono delle forze di pressione F<\/strong>p<\/strong><\/sub> la cui risultante \u00e8: Fp<\/sub>= \u03c0r2<\/sup> (p1<\/sub>-p2<\/sub>)<\/strong>. Inoltre, il moto del cilindro \u00e8 rallentato dalle forze di attrito viscoso F\u03b7<\/sub><\/strong> che agiscono sulla superficie laterale di area 2<\/strong>\u03c0rl<\/em><\/strong> per cui:<\/p>\n\n\n\n

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\"\"<\/figure>\n<\/center>\n\n\n\n

dove il segno negativo indica che la forza \u00e8 opposta al moto del cilindro.<\/p>\n\n\n\n

Poich\u00e9 il cilindro si muove a velocit\u00e0 costante e ci\u00f2 avviene solo quando la somma delle forze \u00e8 nulla Fp<\/sub> + F\u03b7<\/sub> = 0<\/strong> allora:<\/p>\n\n\n\n

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tuttavia dv\/dr < 0<\/strong> quindi:<\/p>\n\n\n\n

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\"\"<\/figure>\n<\/center>\n\n\n\n

Adesso si determina la costante di integrazione<\/strong> considerando r=R<\/strong>, dove v=0<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n

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Si avr\u00e0 allora che:<\/p>\n\n\n\n

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Considerando adesso l\u2019asse del tubo e quindi r=0<\/strong>, dove v=vmax<\/sub><\/strong><\/p>\n\n\n\n

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La velocit\u00e0 media con cui scorre il fluido nel tubo sar\u00e0 quindi:<\/p>\n\n\n\n

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\"\"<\/figure>\n<\/center>\n\n\n\n

Dall\u2019equazione di continuit\u00e0 (legge di Leonardo<\/strong>) Q= A<v><\/strong>allora:<\/p>\n\n\n\n

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\"\"<\/figure>\n<\/center>\n\n\n\n

L’equazione ottenuta non \u00e8 altro che la legge di Poiseuille.<\/p><\/p>\n\n\n\n

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Fonte: Fisica biomedica<\/a>.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n

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Quando un fluido reale si muove in un condotto, a differenza dei fluidi ideali, si ha a che fare con delle forze di attrito che ostacolano il moto del fluido dovute alle forze di coesione tra le molecole che, in un condotto, aumentano dall\u2019interno del fluido verso la parete del condotto. Quindi la velocit\u00e0 di…<\/p>\n

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