![\"\"](\"https:\/\/www.bmscience.net\/blog\/wp-content\/uploads\/2025\/07\/375c5d7b-d907-4b85-ab16-7da7edcd9a38.jpg\")
<\/a><\/div>\n\n\nPer descrivere completamente alcune grandezze fisiche<\/strong>, \u00e8 quindi necessario ricorrere a strumenti matematici pi\u00f9 complessi dei semplici numeri. In questo contesto, introduciamo il concetto di quantit\u00e0 vettoriali<\/strong>. \u00c8 importante tenere presente che questo concetto pu\u00f2 essere ulteriormente esteso a entit\u00e0 matematiche ancora pi\u00f9 complesse, dette tensori<\/strong>. I tensori trovano ampio impiego nelle teorie fisiche avanzate. Un esempio \u00e8 il tensore di Riemann<\/strong>, che descrive la geometria dello spazio-tempo e che \u00e8 caratterizzato da ben 16 numeri<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Possiamo dunque distinguere due tipologie fondamentali di grandezze fisiche:<\/p>\n\n\n\n A questo punto, si pone il problema di come rappresentare matematicamente le grandezze vettoriali<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Una rappresentazione intuitiva ed efficace<\/strong> \u00e8 quella geometrica<\/strong>: consiste nel rappresentare un vettore come un segmento orientato<\/strong>, la cui:<\/p>\n\n\n\n In alcuni casi, pu\u00f2 essere necessario specificare anche il punto di applicazione<\/strong> del vettore. Dal punto di vista simbolico:<\/p>\n\n\n\n Tuttavia, la rappresentazione geometrica presenta uno svantaggio: richiede una manipolazione grafica<\/strong>, che pu\u00f2 risultare poco pratica nel caso si vogliano eseguire operazioni tra vettori. Per questo motivo, \u00e8 utile introdurre una seconda rappresentazione matematica, che permetta di trasformare il calcolo vettoriale<\/strong> in un calcolo numerico<\/strong> tra grandezze scalari.<\/p>\n\n\n\n Questa seconda modalit\u00e0 di rappresentazione si basa sul concetto di proiezione<\/strong> di un vettore in un sistema di riferimento<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Ad esempio, dato un vettore v = \u0100\u014c<\/strong> e una direzione individuata da una retta r<\/strong>, che forma un angolo \u03d5<\/strong><\/strong> con v<\/strong>, si definisce componente del vettore v nella direzione r<\/strong> la quantit\u00e0:<\/p>\n\n\n\n vr<\/sub>=v\u22c5cos\u03d5<\/strong><\/strong><\/p><\/blockquote><\/figure>\n\n\n Questa misura la lunghezza del segmento<\/strong> ottenuto proiettando v sulla retta r<\/strong> (vedi l’immagine accanto).<\/p>\n\n\n\n Il vettore componente<\/strong> del vettore v<\/strong> lungo la retta r<\/strong> \u00e8 rappresentato dal vettore \u0100’\u014c<\/strong><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n In generale, un vettore v<\/strong> pu\u00f2 essere scomposto<\/strong> lungo due o pi\u00f9 direzioni, ottenendo i vettori componenti<\/strong> corrispondenti a ciascuna di esse.<\/p>\n\n\n\n Possiamo ora utilizzare il concetto di componente<\/strong> (o proiezione<\/strong>) di un vettore per mostrare che un vettore pu\u00f2 essere rappresentato mediante tre numeri<\/strong> e un sistema di riferimento<\/strong>.<\/p>\n\n\n Un sistema di riferimento si ottiene, ad esempio, definendo tre rette orientate<\/strong> uscenti dallo stesso punto origine<\/strong>. Se queste tre rette sono mutuamente perpendicolari<\/strong>, si parla di sistema cartesiano ortogonale<\/strong>, i cui assi vengono solitamente indicati con le lettere x<\/strong>, y<\/strong> e z<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Dato un vettore v<\/strong> e un sistema di riferimento cartesiano, possiamo determinarne le tre componenti<\/strong> lungo gli assi. Indichiamo queste componenti con v\u2093<\/strong>, v\u1d67<\/strong> e vz<\/sub><\/strong>. Il vettore v<\/strong> pu\u00f2 quindi essere rappresentato da:<\/p>\n\n\n\n Riferendoci all’immagine accanto, le componenti del vettore v<\/strong> si esprimono come:<\/p>\n\n\n\n vx<\/sub>=\u2223v\u2223 cos\u2061\u03b8 cos\u2061\u03d5 Da queste componenti, il modulo<\/strong> del vettore pu\u00f2 essere calcolato con la relazione: <\/p>\n\n\n \u00c8 fondamentale comprendere che, mentre le componenti<\/strong> del vettore dipendono dal sistema di riferimento<\/strong>, il vettore stesso \u00e8 indipendente<\/strong> da esso. Infatti, immaginando il vettore come un segmento orientato nello spazio<\/strong>, \u00e8 evidente che cambiando il sistema di riferimento cambiano le sue componenti, ma non il vettore in s\u00e9.<\/p>\n\n\n Consideriamo due vettori v\u2081<\/strong> e v\u2082<\/strong> aventi lo stesso punto di applicazione<\/strong> (origine). Se i vettori inizialmente non condividono la stessa origine<\/strong>, uno di essi (o entrambi) pu\u00f2 essere traslato parallelamente a s\u00e9 stesso<\/strong> fino a far coincidere le origini.<\/p>\n\n\n La somma<\/strong> dei due vettori v\u2081<\/strong> e v\u2082<\/strong> \u00e8 il vettore v\u2083 = v\u2081 + v\u2082<\/strong>, costruito come la diagonale principale<\/strong> del parallelogramma<\/strong> che ha per lati v\u2081<\/strong> e v\u2082<\/strong> (vedi immagine). La somma vettoriale pu\u00f2 essere eseguita anche algebricamente<\/strong>, utilizzando le componenti<\/strong> dei vettori rispetto a un determinato sistema di riferimento<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Somma di due vettori v1<\/sub><\/strong> e v2<\/sub><\/strong> con il metodo analitico (somma delle componenti omologhe):<\/p>\n\n\n\n v3x<\/sub>= v1x<\/sub> + v2x<\/sub><\/strong><\/p>\n\n\n\n v3y<\/sub>= v1y<\/sub> + v2y<\/sub><\/strong><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n In uno spazio tridimensionale, se:<\/p>\n\n\n\n allora il vettore somma<\/strong> v3<\/sub>=v1<\/sub>+v2<\/sub><\/strong> avr\u00e0 componenti date da: <\/p>\n\n\n\n v3x<\/sub>= v1x<\/sub> + v2x<\/sub><\/strong> La differenza<\/strong> tra due vettori v\u2081<\/strong> e v\u2082<\/strong> \u00e8 definita come il vettore v3<\/sub><\/strong> tale che: v1<\/sub>\u2212v2<\/sub>=v\n
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<\/a><\/div>\n\n\n\n
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<\/a><\/div>\n\n![\"\"](\"https:\/\/www.bmscience.net\/blog\/wp-content\/uploads\/2025\/07\/Screenshot-2025-07-06-193841.png\")
\n
vy<\/sub>=\u2223v\u2223 sin\u2061\u03b8 sin\u2061\u03d5
vz<\/sub>=\u2223v\u2223 cos\u2061 \u03d5<\/strong><\/p><\/blockquote><\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/www.bmscience.net\/blog\/wp-content\/uploads\/2025\/07\/R-2.jpeg\")
<\/figure>\n<\/div>\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/www.bmscience.net\/blog\/wp-content\/uploads\/2025\/08\/Screenshot-2025-08-31-093844.png\")
<\/a><\/div>\n\n\nSomma e differenza di vettori<\/h2>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/www.bmscience.net\/blog\/wp-content\/uploads\/2025\/07\/Screenshot-2025-07-06-195454.png\")
Per sommare pi\u00f9 vettori<\/strong>, si procede sommando due vettori alla volta<\/strong>, applicando lo stesso metodo.<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/www.bmscience.net\/blog\/wp-content\/uploads\/2025\/07\/Screenshot-2025-07-06-195702.png\")
<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n\n
v3y<\/sub>= v1y<\/sub> + v2y<\/sub><\/strong>
v3z<\/sub>= v1z<\/sub> + v2z<\/sub><\/strong><\/p><\/blockquote><\/figure>\n\n\n\n